Question

如图示，在底面为直角梯形的四棱椎P   ABCD中，AD//BC,ÐABC= 90⁰, PA^平面ABCD，PA= 4，AD= 2，AB=2,BC = 6.

（1）求证：BD^平面PAC ；

（2）求二面角A—PC—D的正切值；

（3）求点D到平面PBC的距离.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）三角形AOB中，由勾股定理得：BO^AC，即：BD^AC， 又BD^PA，ACÇ PA=A，由线面垂直判定定理可得BD^平面PAC；（2）先作出二面角的平面角，然后在直角三角形中求出正切值；（3）利用等积法，由VD—PBC = VP—BDC即可求出点D到平面PBC的距离.

试题解析：【解析】
(1)令BD与AC相交于点O，不难求得：AC=4,BD= 4

由DAOD~DBOC得：BO=×4= 3;AO=×4=;

\ BO2+AO2 = (3)2+()2= 12= AB2

\由勾股定理得：BO^AC，即：BD^AC， 又BD^PA，ACÇ PA=A，

\ BD^平面PAC          3分

（2）由（1）知：DO^平面PAC，过O作OH^PC于H，连DH，则DH^PC

则ÐDHO就是二面角A—PC—D的平面角， DO=×BD =×4=1 ,

CO=×AC=×4=3， 由RtDPAC~RtDOHC得： =,又PC= = 8, OH=.tanÐDHO= =.          7分

（3）由VD—PBC = VP—BDC可得：h=.         10分

考点：1.线面垂直的判定；2.二面角的求法；3.点到平面的距离求法