Question

如图所示，平面，四边形是矩形，，M,N分别是AB,PC的中点，

（1）求平面和平面所成二面角的大小，

（2）求证：平面

（3）当的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的可能范围.

Answer

(1)；（2）详见解析；（3）

【解析】

试题分析：(1)求二面角大小时，需先找后求，∵平面，则，又,∴可证面，从而,则就是平面和平面所成二面角的平面角，∵，；（2）可证明直线垂直于面内的两条相交直线，也可利用转化法，先证明与平行的一直线垂直于面，从而平面，该题中，取中点，连接，可证明四边形是平行四边形，从而∥,先证明⊥面，从而平面；（3）异面直线所成的角是空间角，应该转化为平面角来解决，仍然应该先找后求，由∥，则就是异面直线和所成的角（或其补角），∵,∴面，从而,在中,设，，先确定的范围，再求的范围.

试题解析：（1） PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD，故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°       3分

（2）如图，取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，∴EN∥CD∥AB  ∴AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE，在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线，∴AE⊥PD，又CD⊥AD，CD⊥PD  ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，∴MN⊥平面PCD。     8分

（3）由∥，则就是异面直线和所成的角（或其补角），∵,∴面，∴,在中，设，，∴,又∵，∴，即异面直线和所成的角的范围是        12分

考点：1、二面角的求法；2、直线和平面垂直的判定；3、异面直线所成的角.