Question

已知且，数列满足，，（），令，

⑴求证： 是等比数列；

⑵求数列的通项公式；

⑶若，求的前项和．

Answer

（1）详见解析；（2）当时，；当时，；

（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据等比数列的定义，只需证明是一个非零常数，∵=，∴是等比数列；

（2）由（1）可知，联想到是常数），可利用构造等比数列求，∴两边同时除以，得，然后讨论是否相等，当时，是等差数列，解得；当时，是等比数列，

（3）当时，，通项公式是等差数列乘以等比数列，可利用错位相减法求和.

试题解析：(1),∴是以为首项，为公比的等比数列    3分；

（2）由（1）可得，∴，

①当时，两边同时除以，可得，∴是等差数列，

          6分

②当时，两边同时除以，可得，设，，

，∴是以首项为，公比为的等比数列，

，∴.            10分

（3）因为，由⑵可得

        14分.

考点：1、等比数列定义；2、构造法求数列通项公式；3、错位相减法求数列前项和.