Question

已知圆C： 直线

（1）证明：不论取何实数，直线与圆C恒相交；

（2）求直线被圆C所截得的弦长的最小值及此时直线的方程.

Answer

（1）见解析；（2）最短弦为4；直线方程为

【解析】

试题分析：（1）只须确定直线上一定点在圆内，则过圆内一点的直线恒与圆相交；（2）由弦心距、半弦、半径构成的直角三角形可过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D两点，根据圆的几何性质可得，线段BD为直线被圆所截得最短弦，从而求出最短弦和对应的直线.

试题解析：（1）证明：直线可化为：，由此知道直线必经过直线与的交点，解得：，则两直线的交点为A（3，1），而此点在圆的内部，故不论为任何实数，直线与圆C恒相交。

（2）联结AC，过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D两点，根据圆的几何性质可得，线段BD为直线被圆所截得最短弦，此时|AC|，|BC|=5，所以|BD|=4。

即最短弦为4；又直线AC的斜率为，所求的直线方程为，即

考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆的弦长求法.