Question

已知以点C (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．

(1)求证：△AOB的面积为定值；

(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程.

Answer

(1)见解析；(2)(x－2)2＋(y－1)2＝5.

【解析】

试题分析：(1)先求出圆的方程，然后求出与坐标轴的交点坐标，然后求S△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4为定值；(2)由OM＝ON，知O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，由C、H、O三点共线求出t＝2或t＝－2，从而得出圆方程.此题注意圆方程的取舍.

试题解析： (1)证明 由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，

化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；

当x＝0时，y＝0或，则B，∴S△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4为定值．

(2)解 ∵OM＝ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，

∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴t＝2或t＝－2.

∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1).

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，

由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去.

∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

考点：1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系.