Question

数列的前n项和为，和满足等式

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：数列是等差数列；

（Ⅲ）若数列满足，求数列的前n项和；

（Ⅳ）设，求证：

Answer

（Ⅰ）=8 （Ⅱ）见解析（III）（Ⅳ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）令n=1,代入即可; （Ⅱ）利用两边同除以n+1,构造等差数列即可; （III）由（II）可知数列是等差数列,求出的解析式,再利用求出的通项公式，代入,求出，再利用错位相减法求出数列的前n项和;（Ⅳ）由（III）知,代入,求出的通项公式,再求出其前n项和,最后利用放缩法得到所求结果.

试题解析：（Ⅰ）由已知:

（Ⅱ）∵,同除以n+1,则有：,所以是以3为首项,1为公差的等差数列.

（III）由（II）可知,  

当 经检验，当n=1时也成立                  

解得：                      

 （Ⅳ）∵

考点：1.等差数列的定义; 2.错位相减法求n前项和;3.放缩法