Question

已知数列的前项和为，若，

⑴证明数列为等差数列，并求其通项公式；

⑵令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的取值范围.

Answer

(1)证明详见解析，；（2）①，②.

【解析】

试题分析：（1）关于和的递推式，一般有两种方法可解决，1：转化为项的递推式，根据递推式 直接求通项公式，2：转化为的递推关系，先求，再求通项公式，该题已知数列前n项和和的递推关系，由可的与的关系，然后由等差数列定义证明，知道等差数列后再求通项公式；

（2）①将代入不等式，解不等式可得，②恒成立问题往往可以采取参变分离的方法，或的形式，最后转化为求函数最值，即或,该题可转化为求的最大值问题,求的最大值可以结合函数的函数或者单调性处理，但是注意定义域.

试题解析：（1）令，，即，由

  ∵，∴，

即数列是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴ 

 （2）①，即   ②∵，又∵时，

∴各项中数值最大为，∵对一切正整数，总有恒成立，因此.

考点：1、等差数列的定义和通项公式；2、恒成立问题.