Question

（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=A A₁，∠BA A₁=60°.

（Ⅰ）证明AB⊥A₁C;

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值。

Answer

（1）取AB的中点O，连接、、，因为CA=CB，所以，由于AB=A A1，∠BA A1=600，所以，所以平面，因为平面，所以AB⊥A1C；

（2）以O为原点，OA所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图直角坐标系，，，，则，，，设为平面的法向量，则，所以为平面的一个法向量，所以直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.

【解析】（1）构造辅助线证明线面垂直，进而得到线线垂直；（2）利用向量法进行求解.

【考点定位】本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质以及向量法求空间角，考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力.