Question

已知直角梯形，是边上的中点（如图甲），，，，将沿折到的位置，使,点在上，且（如图乙）

（Ⅰ）求证：平面ABCD.

（Ⅱ）求二面角E−AC−D的余弦值

Answer

（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：先证，且，平面ABCD；根据几何法或向量法求出二面角E−AC−D的余弦值.

试题解析：

（Ⅰ）证明：在题图中，由题意可知，

，ABCD为正方形，所以在图中，，

四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为，且，

所以平面SAB，                （3分）

又平面SAB，所以，且，

所以平面ABCD.                 （6分）

（Ⅱ）【解析】
方法一： 如图，在AD上取一点O，使，连接EO．

因为，所以EO//SA ，                   （7分）

所以平面ABCD，过O作于H，连接EH，

则平面EOH，所以．

所以为二面角E−AC−D的平面角，                 （9分）

. 在Rt△AHO中，

.                   （11分）

所以二面角E−AC−D的余弦值为．                     （12分）

方法二：以A为原点建立空间直角坐标系，如图，

，             （7分）

易知平面ACD的法向量为，

设平面EAC的法向量为，

，                     （9分）

由 所以 可取 

所以，                         （11分）

所以，

所以二面角E−AC−D的余弦值为．                     （12分）

考点：线面垂直，二面角．