Question

已知函数．

（Ⅰ）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围，并且判断代数式的大小．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先对函数求导，求出函数的极值，根据函数在区间上存在极值，

所以  从而解得（Ⅱ）不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，根据不等式的性质比较的大小．

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）因为，，则，          （1分）

当时，；当时，.

所以在上单调递增；在上单调递减，

所以函数在处取得极大值.                    （2分）

因为函数在区间上存在极值，

所以 解得                         （4分）

（Ⅱ）不等式即为 记，

所以.         （5分）

令，则，

，，

在上单调递增，

，从而，

故在上也单调递增，所以

所以.                               （7分）

由上述知恒成立，即， 

令，则，

∴ ，，， ，

，                         （9分）

叠加得

.

则，

所以．               （12分）

考点：函数与导数，函数极值与最值，不等式恒成立问题，不等式的性质．