Question

设（且）

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，证明：时，成立

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 利用导数分析单调性，注意分类讨论；(Ⅱ)利用导数分析单调性，进而求最值

试题解析：（Ⅰ）的定义域为，，

（1）当时，解得或；解得

所以函数在，上单调递增，在上单调递减；

（2）当时，对恒成立，所以函数在上单调递增；

（3）当时，解得或；解得

所以函数在，上单调递增，在上单调递减    （6分）

（Ⅱ）证明:不等式等价于

因为，所以，

因此

令，则

令得：当时，

所以在上单调递减，从而  即，

在上单调递减，得:，

当时，     （12分）

考点：导数，函数的单调性，不等式证明等知识点，考查学生的综合处理能力