Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP.

 (1）证明：AC⊥DE;

（2）若PC＝BC，求二面角E－AC一P的余弦值.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、线线垂直的判定和二面角的求法，可以用传统几何法，也可以用空间向量方法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，先利用线面垂直得出线垂直于面内的任意一条线，得到的条件后，利用线面垂直的判定定理得到平面，所以得证；第二问，用向量法求解，先求出面与面的法向量，再利用夹角公式求夹角.

试题解析：（1）∵平面，∴，

∵底面是正方形，∴，∴平面，

∵平面，∴.        5分

（2）以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系.

设，则，因为，

易知，

所以，

设平面的法向量为，则

即，令，得，同理可取平面的法向量，

所以，所以二面角的余弦值为.       12分

考点：1.线面垂直的判定定理；2.向量法求二面角.