Question

已知椭圆：，

（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；

（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围；

（3）过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆：相交于四点，设原点到四边形的一边距离为，试求时满足的条件.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用已知条件找出解出、即得；（2）设直线方程，联立方程组消去得到关于的方程，由求出的范围；（3）设直线的方程为联立方程组消去到关于的方程，利用、韦达定理、点到直线的距离公式求解.

试题解析：（1）依题意，，解得，故椭圆的方程为.

（2）如图，依题意，直线的斜率必存在，

设直线的方程为，，，

联立方程组，消去整理得，

由韦达定理，，，

,

因为直线与椭圆相交，则，

即，解得或，

当为锐角时，向量，则，

即，解得，

故当为锐角时，.

如图，

依题意，直线的斜率存在，设其方程为，，，由于，

，即，又，

           ①

联立方程组，消去得，

由韦达定理得，，代入①得

，

令点到直线的距离为1，则，即，

，

整理得.

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.