Question

已知,

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在处有极值，求的单调递增区间；

（Ⅲ）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）  （Ⅱ）   （Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求曲线在一点处的切线方程，一要抓切点（1,2），一要抓导数的几何意义即切线的斜率，便求出切线方程；（Ⅱ）先利用极值求出系数，再利用及定义域，求出单调递增区间为；（Ⅲ）利用导数求某区间上的最值,要综合应用极值、单调性进行判定求解,特别对的形式、的根进行分类讨论.多见于单调函数、单峰（谷）函数.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为， 因为，所以

当时，，，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，即.        3分

（Ⅱ）因为在处有极值，所以， 由（Ⅰ）知，所以

经检验，时在处有极值．                        4分

所以，令,解得或；

因为的定义域为，所以的解集为，

即的单调递增区间为.                        6分

（Ⅲ）假设存在实数，使在区间上有最小值3，由，

① 当时， ，在上单调递减，

，解得，舍去.               8分

②当即时，在上单调递减，在上单调递增，

，解得，满足条件.          10分

③ 当即时，，

所以在上单调递减，，解得，舍去.

综上，存在实数，使在区间上的最小值是3.       12分

考点：导数的几何意义   导数的应用   分类讨论思想