Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明 平面EDB；

（Ⅱ）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）令AC、BD交于点O，连接OE，证明OE∥AP，即可证明AP∥面BDE；（Ⅱ）先找到直线与平面所成的角，令F是CD中点，又E是PC中点，连结EF，BF，可以证明EF⊥面ABCD，故∠EBF为面BE与面ABCD所成的角，在Rt⊿BEF中求出其正切值.

试题解析：（Ⅰ）令AC、BD交于点O，连接OE,∵O是AC中点，又E是PC中点

∴ OE∥AP                                   3分

又OE面BDE，AP面BDE                   5分

∴AP∥面BDE                                     6分

（Ⅱ）令F是CD中点，又E是PC中点，连结EF，BF

∴EF∥PD，又PD⊥面ABCD

∴EF⊥面ABCD                                    8分

∴∠EBF为面BE与面ABCD所成的角.

令PD=CD=2a

则CD=EF=a, BF=                   10分

在Rt⊿BEF中，

故BE与面ABCD所成角的正切是.               12分

考点：线面平行的判定、直线与平面所成的角、勾股定理.