Question

定义在上的函数，当时，，且对任意的 ,有，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：对任意的，恒有；

（Ⅲ）证明：是上的增函数.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）令即可得证；（Ⅱ）令得，，由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0，故对任意x∈R，f(x)>0；（Ⅲ）先证明为增函数：任取x2>x1，则，，故，故其为增函数.

试题解析：（Ⅰ）令，则f(0)=[f(0)]2   ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1  2分

（Ⅱ）令则 f(0)=f(x)f(-x) ∴  4分

由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0

∴，又x=0时，f(0)=1>0        6分

∴ 对任意x∈R，f(x)>0                7分

(Ⅲ)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0  8分

 ∴

 ∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数        13分

考点：抽象函数、增函数的证明、一元二次不等式解法.