Question

已知函数

（Ⅰ）若试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）令若至少存在一个实数，使成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）单调递增区间是,单调递减区间是；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于零解得单调增区间，令导数小于零得单调减区间；（Ⅱ）令导数等于零得，然后对在处断开进行讨论，在上求出函数的最小值，令其大于零解得的范围；（Ⅲ）由于存在，使，则，令，则大于的最小值.

试题解析：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的单调递增区间是，     3分

由得，故的单调递减区间是．     4分

（Ⅱ） 由得．  5分                

①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．        6分

②当时，．当变化时的变化情况如下表：

单调递减

极小值

单调递增

由此可得，在上，．      8分

依题意，，又，所以．

综合①，②得，实数的取值范围是．      9分

（Ⅲ）由于存在，使，则

令，则                               12分

当时，（仅当时取等号）

在上单调递增， 因此．          14分

考点：利用导数求函数的单调区间、利用导数求函数的最值、导数综合应用.