Question

已知函数

（Ⅰ）若试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数求证： .

Answer

（Ⅰ）单调递增区间是,单调递减区间是；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于零解得单调增区间，令导数小于零得单调减区间；（Ⅱ）先可得知是偶函数，于是对任意成立等价于对任意成立，令导数等于零得，然后对在处断开进行讨论；（Ⅲ）先求得，并证明，然后列举累乘即可证明.

试题解析：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的单调递增区间是，     3分

由得，故的单调递减区间是．     4分

（Ⅱ）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立．    5分

由得．                

①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．        6分

②当时，．当变化时的变化情况如下表：

单调递减

极小值

单调递增

由此可得，在上，．      8分

依题意，，又，所以．

综合①，②得，实数的取值范围是．      9分

(Ⅲ)，     10分

，

  12分

得，

故．           14分

考点：利用导数求函数的单调区间、利用导数求函数的极值、不等式证明.