Question

如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．

(1)求证：；

(2)在平面内求一点，使平面，并证明你的结论；

(3)求与平面所成角的正弦值．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；(3)

【解析】

试题分析：在空间中直线、平面的平行和垂直关系的判定，求空间中的角，可以用相关定义和定理解决，如(1)中，易证，，所以，，但有些位置关系很难转化，特别求空间中的角，很难找到直线在平面内的射影，很难作出二面角，这时空间向量便可大显身手，如果图形便于建立空间直角坐标系，则更为方便，本题就是建立空间直角坐标系，写出各点坐标（1）计算即可；(2)设，再由，解出，即可找出点；(3)用待定系数法求出件可求出平面的法向量，再求出平面的法向量与向量平面的夹角的余弦，从而得到结果.

试题解析：以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图)，设，则，，，，，，．

(1) 因为，所以.       4分

(2)设，则平面，，

，所以，

，所以

∴点坐标为，即点为的中点．         8分

(3)设平面的法向量为．

由得，即，

取，则，，得．

，

所以，与平面所成角的正弦值的大小为      13分

考点：空间向量与立体几何.