Question

在直角坐标系中,点到两点的距离之和等于4,设点的轨迹为,直线与交于两点.

(1)写出的方程;

(2)若点在第一象限,证明当时,恒有.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的定义，可判断点的轨迹为椭圆，再根据椭圆的基本量，容易写出椭圆的方程，求曲线的方程一般可设动点坐标为，然后去探求动点坐标满足的方程，但如果根据特殊曲线的定义，先行判断出曲线的形状(如椭圆，圆，抛物线等)，则可直接写出其方程；（2）一般地，涉及直线与二次曲线相交的问题，则可联立方程组，或解出交点坐标，或设而不求，利用一元二次方程根与系数的关系建立关系求出参数的值(取值范围)，本题可设，根据两点坐标满足的方程，去判断的符号.

试题解析：(1)设,由椭圆定义可知,点的轨迹是以为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴,      2分

故曲线的方程为.     5分

(2)证明:设,其坐标满足消去并整理,得

                       7分

故.           9分

.                                     11分

因为在第一象限,故.

由知,从而.

又，故,

即在题设条件下,恒有.                                                        13分

考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.