Question

已知正项数列的前项和为，是与的等比中项.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若，且，求数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，若，求数列的前项和.

Answer

(1)详见解析；(2) ；(3) .

【解析】

试题分析：（1）利用关系找出数列的递推关系，可证明数列为等差数列；(2)由(1)可求出得，由，可变形得出为等比数列，进一步求出其通项公式；(3)根据数列的结构特点(等差乘等比型)可用错位相减法求和.证明数列为等差数列或等比数列，应紧扣定义，通过对所给条件变形，得到递推关系，而等差乘等比型数列的求和最常用的就是错位相减法，使用这个方法在计算上要有耐心和细心，注意各项的符号，防止出错.

试题解析：（1）即                              1分

当时，，∴                                      2分

当时，

∴                              3分

即      4分

∵   ∴

∴数列是等差数列                                                          5分

（2）由得，而，                   7分

∴数列是以2为公比，4为首项的等比数列

∴

∴                                                                       9分

（3）                                                              10分

∴   ①

两边同乘以得  ②

① ②得

                                                     14分

考点：等差数列、等比数列、错位相减法.