Question

已知函数，，其中．

(1)若是函数的极值点，求实数的值；

(2)若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由连续可导函数在极值点处的导数为0求出的值，再验证充分性即可，这里容易忘记验证充分性，一定要注意连续可导函数在某点处导数为0，只是在该处取得极值的必要条件，而非充要条件；(2)条件等价转化为，然后以导数为工具，求出分别求出，通过解不等式可得实数的取值范围，注意分类讨论.本小题要注意是两个相互独立的变量，没有约束关系，所能转化为 ， 若题目改为“若对任意的都有≥成立”，则可考虑转化为成立去解答.

试题解析：（1）解法1：∵，其定义域为，    1分  

∴．3分

∵是函数的极值点，∴，即．

∵，∴．

经检验当时，是函数的极值点，∴．      5分                                            

解法2：∵，其定义域为，

∴．   令，即，整理，得．

∵，

∴的两个实根（舍去），，

当变化时，，的变化情况如下表：

—

0

＋

极小值

依题意，，即，∵，∴．

（2）【解析】
对任意的都有成立等价于对任意的都有．                               6分

当时，．

∴函数在上是增函数．∴．                       8分                      

∵，且，．

①当且当时，，

∴函数在上是增函数，

∴.由，得，又，

此时不合题意．                                          10分 

②当时，

若，则，若，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴.

由，得，又，∴．       12分

③当且时，，

∴函数在上是减函数．

∴.由≥，得，

又，∴．      13分

综上所述，的取值范围为．       14分

考点：函数与导数、函数的极值和最值.