Question

已知二次函数与两坐标轴分别交于不同的三点A、B、C.

（1）求实数t的取值范围；

（2）当时，求经过A、B、C三点的圆F的方程；

（3）过原点作两条相互垂直的直线分别交圆F于M、N、P、Q四点，求四边形的面积的最大值。

Answer

（1）且；（2）圆F的方程为；（3）四边形的面积的最大值为．

【解析】

试题分析：（1）利用一元二次方程根的判别式易求得结果；（2）当时，，分别令得二次函数与两坐标轴的三个不同交点坐标，再设圆的一般方程或标准方程利用待定系数法求得圆的方程；（3）画出图形，利用垂径定理和勾股定理表示，列出面积函数，利用均值不等式求四边形的面积的最大值．

试题解析：（1）由已知由及，得且．          4分

（2）当时，，分别令得二次函数与两坐标轴的三个不同交点坐标设圆F的方程为则，解得，所以圆的方程为，即．                  8分

（3）如图：四边形的面积．

四边形的面积的最大值为．                          14分

考点：1、直线与抛物线位置关系；2、圆的方程的求法；3、解析几何最值问题．