Question

设函数(其中).

(1) 当时,求函数的单调区间和极值；

(2) 当时，函数在上有且只有一个零点．

Answer

（1）函数的递减区间为递增区间为极大值为，极小值为；（2）详见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）先求，解方程，得可能的极值点，列表可得函数的单调区间和极值；（2）．当时，，在上无零点，故只需证明函数在上有且只有一个零点．分和利用函数的单调性证明函数在上有且只有一个零点．

试题解析：（1）当时，，．

令，得，．

当变化时,的变化如下表:

极大值

极小值

由表可知，函数的递减区间为递增区间为极大值为，极小值为．                                  6分

（2）．当时，，在上无零点，故只需证明函数在上有且只有一个零点．

①若，则当时，在上单调递增．

在上有且只有一个零点．

②若，则在上单减，上单增．

令则．在上单增，在上单增，，在上有且只有一个零点．

综上，在上有且只有一个零点．                          13分

考点：1、利用导数求函数的单调区间和极值；2、利用导数讨论函数的零点．