Question

已知可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和，若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是____________.

Answer

【解析】

试题分析：依题意，g(x)+h(x)= .....（1），∵g(x)是奇函数，∴g(-x)=-g(x)；∵h(x)是偶函数，∴h(-x)=h(x)；

∴g(-x)+h(-x)=h(x)-g(x)= ......(2)

解(1)和(2)组成的方程组得h(x)= ，g(x)=  

∴ag(x)+h(2x)=a + ，∴a· +≥0在x∈[1,2]恒成立

令t=，∴= ，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]，

∴原不等式化为a(t－)+(t2+)≥0在t∈[2,4]上恒成立，由不等式a(t－)+(t2+)≥0，

可得a(t－)≥－(t2+)，∵当t∈[2,4]时，t－t>0恒成立，∴a≥ ==  ，即a≥在t∈[2,4]上恒成立，

令u=t－,求导得=1+>0恒成立，∴u=t-在t∈[2,4]上单调递增

∴u∈[ ]，令f(u)=u+，u∈[]，

求导得(u)=1->0在u∈[]上恒成立，∴f(u)在u∈[]上单调递增

即当u=，f(u)取最小值f()= ，

当u=时，可解得t=2（另一根不在t∈[2,4]内故舍去）

∴当t=2时， 取最小值为 ，即取最大值为－，∴a≥－，当t=2，x=1时取等号，∴a的最小值为－．

考点：１.函数的奇偶性；２.不等式的性质；3.导数的性质.