Question

（本小题12分）如图：四棱锥P—ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

（1）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF;

（2）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°. 

Answer

【解析】（1）证明详见解析；（2）．

试题分析：（1）以A为原点，AD,AB,AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求证 =0即可；（2）求出表示平面PDE的一个法向量的坐标，由向量的夹角公式和已知条件可得到一个方程，解之即可.

试题解析：【解析】
(1) 建立如图所示空间直角坐标系，

则P（0，0，1），B（0，1，0），

  设

∴AF⊥PE 

（2）设平面PDE的法向量为，由 得，而,

因为PA与平面PDE所成角的大小为45°，

所以sin45°=  ，即 ，得BE=x= ，

或BE=x=（舍去）.

考点：1.向量数量积的性质；2.向量夹角公式的应用.