Question

如图，四棱锥中，侧面是等边三角形，在底面等腰梯形中，，，，，为的中点，为的中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面.

Answer

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线面平行的判定，运用传统几何法证明，突出考查空间想象能力.第一问，利用已知的边长和特殊关系，证明出，，所以利用线面垂直的判定定理就会得出平面，再利用面面垂直的判定定理即可；第二问，先利用线面平行的判定定理证明∥平面，通过同位角相等可以得出，再证明平面，再通过面面平行的判定定理得到平面∥平面，所以面内的线平行平面.

试题解析：（Ⅰ）∵是等边三角形，是的中点，

∴， ．        2分

∵在中，，，        3分

∴，∴．

在中，，    4分

∴是直角三角形．∴．

又∵，，∴平面．

又∵平面，∴平面⊥平面．    6分

（Ⅱ）取的中点，连接．

∵，点分别是的中点，∴．

又平面，平面，所以∥平面．         8分

∵点是的中点，∴，

又，∴是等边三角形，∴．

又平面，平面，所以平面．

∵，∴平面∥平面．

∵平面，∴平面．           12分

考点：1.余弦定理；2.勾股定理；3.线面垂直的判定定理；4.面面垂直的判定定理；5.线面平行的判定定理；6.面面平行的判定定理.