Question

定义在上的函数对任意都有（为常数）.

（1）判断为何值时为奇函数，并证明；

（2）设，是上的增函数，且，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1），证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查抽象函数奇偶性的判断和利用函数单调性解不等式.考查学生的分析问题解决问题的能力.考查转化思想和分类讨论思想.第一问，用赋值法证明函数的奇偶性；第二问，利用单调性解不等式，转化成恒成立问题，再利用二次函数的性质求的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）若在上为奇函数，则，            1分

令,则，∴.      2分

证明：由，令，则，

又，则有.即对任意成立，所以是奇函数.

             6分

（Ⅱ）             7分

∴对任意恒成立．

又是上的增函数，∴对任意恒成立，      9分

即对任意恒成立，

当时显然成立；

当时，由得．

所以实数m的取值范围是．     13分

考点：1.抽象函数的奇偶性的判断；2.恒成立问题.