Question

设函数 

（1）证明 当，时，；

（2）讨论在定义域内的零点个数，并证明你的结论.

Answer

（1）见解析；（2） 时有唯一零点 ，时，有两个零点，时有唯一零点， 时无零点.

【解析】

试题分析：（1）构造新函数后证明>0恒成立即可；（2）当时通过单调性可知零点只有一个，当时通过的最大值与0的比较即可判断零点情况.

试题解析：(1) ,令 ，

 ，令 ，则令 ，令 ， .

令 得 .当 时 单调递增， 时 单调递减，

又 ， ，∴在上恒小于零.即当时 单调递减.

又 ，∴当时，>0恒成立，即.

(2) .

1°当 时， 恒成立,即 单调递增，此时 ， ，此时的零点在 上.

2°当 时， ， .

∴在 上单调递增，在 上单调递减，∴ 为的最大值点.

令 可得 即当时有唯一零点；

当 时， ，此时有两个零点 ， ；

当 时， ，∴在 上无零点.

综上所述， 时有唯一零点 ，

时，有两个零点，

时有唯一零点，

 时无零点.

考点：1.导数证明不等式；2.函数的零点；3函数的单调性和最值.