Question

设函数是定义在R上的奇函数，对任意实数有成立．

（1）证明是周期函数，并指出其周期；

（2）若，求的值；

（3）若，且是偶函数，求实数的值．

Answer

（1）；（2）-2；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由可得 ，由是定义在R上的奇函数得 ，故 ; （2）根据奇偶性和 得 ， ；（3）可证明是偶函数，由是偶函数，得为偶函数，故.

试题解析：（1）由，且知

，所以是周期函数，且是其一个周期．

（2）因为为定义在R上的奇函数，所以，且，又是的一个周期，所以；

（3）因为是偶函数，且可证明是偶函数，所以为偶函数，即恒成立．

于是恒成立，于是恒成立，

所以为所求．

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.