Question

已知函数

(1)求的值域；

(2)设，函数．若对任意，总存在，使，求实数的取值范围．

Answer

(1)  ；(2)

【解析】

试题分析：（1）求出的导函数，令导函数等于求出 的值，然后由的值，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值即可得到的值域；（2）设函数在[0，2]上的值域是A，根据题意对任意，总存在，使，得到区间是A的子集，求出的导函数，分小于0和大于0两种情况讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值，即可得到函数在相应区间的值域，根据区间[0，2]是A的子集判断出符合这一条件的情况，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的取值范围．

试题解析：（1），令，得或．         

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，

而，当时，的值域是． 

(2)设函数在上的值域是A，

若对任意．总存在1,使，．                             

．

①当时，，函数在上单调递减．              ，当时，不满足；

②当时，，令，得或(舍去)   

（i）时，的变化如下表：

0

2

-

0

+

0

．，解得．   

(ii)当时，，函数在上单调递减．

 ，当时，不满．

综上可知，实数的取值范围是． 

考点：1.函数的值域；2.导数求函数的单调性；3.分类讨论思想的运用.