Question

设函数．

（1）在区间上画出函数的图象 ；

（2）设集合. 试判断集合和之间

的关系，并给出证明 ；

（3）当时，求证：在区间上，的图象位于函数图象的上方．

    

Answer

(1)见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）画出在上的图象，然后将轴下方的翻到上方即可；（2）结合图象，求出集合，则其与的关系一面了然；（3）只需证明当时在区间上恒成立.

试题解析：（1）函数在区间上画出的图象如下图所示：

（2）方程的解分别是和，

由于在和上单调递减，在和上单调递增，

因此.                              6分

 由于.                                    8分

（3）解法一：当时，.

设 , 9分

. 又，

①  当，即时，取， .

， 则.                11分

②  当，即时，取，＝.

由 ①、②可知，当时，，.                            12分

因此，在区间上，的图象位于函数图象的上方.           13分

解法二：当时，.

由 得，

令 ，解得 或，                          10分

在区间上，当时，的图象与函数的图象只交于一点；

当时，的图象与函数的图象没有交点.    11分

如图可知，由于直线过点，

当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到.

因此，在区间上，的图象位于函数图象的上方.       13分

考点：1.集合间的关系；2.函数的最值求法；3.函数图象.