Question

设a为实数，记函数的最大值为．

（1）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t) ；

（2）求 ；

（3）试求满足的所有实数a．

Answer

（1）,；（2）=（3）.

【解析】

试题分析：(1)根据的取值范围求出的范围，再将用含的式子表示；（2）由题意知即为函数，的最大值，因为对称轴含有参数，所以要讨论处理；（3）根据（2）问得出的，由在对应区域上讨论解答即可.

试题解析：（1）∵，∴要使有意义，必须且，即.

∵，且  ①   

∴的取值范围是,                                           2分

由①得：，

∴，.                  4分

（2）由题意知即为函数，的最大值，

∵直线是抛物线的对称轴，                        5分

∴可分以下几种情况进行讨论：

①当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

②当时，，，有=2；

③当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，.     9分

综上所述，有=                         10分

（3）当时，；

当时，，，∴，

，故当时，； 

当时，，由知：，故；

当时，，故或，从而有或，

要使，必须有，，即，

此时，.                            13分

考点：1.分段函数；2.二次函数；3.函数最值.