Question

已知定义域为R的函数是奇函数．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）判断的单调性并证明；

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）在R上为减函数,证明详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）思路一、由可求得a的值；

思路二、由于是R上的奇函数，所以，由此也可求得a的值.

（Ⅱ）思路一：根据函数单调性的定义证明；思路二：利用导数证明.

（Ⅲ）因是奇函数，从而不等式等价于

在R上为减函数，由上式得：解此不等式即可.

试题解析：（I）法一、函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，

即，故．

法二、由是R上的奇函数，所以，故．

再由，

通过验证来确定的合理性              4分

（Ⅱ）由（1）知

由上式易知在R上为减函数.

证明：法一、由（1）知

设，则，

所以，所以在R上为减函数.               8分

法二、由（1）知

求导得：，所以在R上为减函数.           8分

（Ⅲ）又因是奇函数，从而不等式等价于

在R上为减函数，由上式得：

即对一切

从而              12分

考点：1、函数的单调性和奇偶性；2、不等关系.