Question

已知函数f(x)＝x²＋4ax＋2a＋6.

(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；

(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．

Answer

(1) 或.(2)g (a)的值域为.

【解析】

试题分析：(1)函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6的值域为[0，＋∞)，意即这个二次函数的最小值为0，∴Δ＝0，

由此便可得a的值.

（2）函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6的值均为非负数，说明这个二次函数的图象的顶点在x轴上或x轴的上方，∴Δ≤0, 由此可求出a的取值范围，从而求出g(a)＝2－a|a＋3|的值域.

试题解析：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，

∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0, ∴2a2－a－3＝0, ∴或..

(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，∴Δ＝8 (2a2－a －3)≤0, ∴－1≤a≤，∴a＋3＞0，

∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2＝－.

∵二次函数g (a)在上单调递减，

∴，即－≤g(a)≤4，∴g (a)的值域为.

考点：二次函数.