Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

（1）求k的值及的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.

Answer

(1),;(2) 隔热层修建5cm厚，总费用达到最小值70万元.

【解析】

试题分析：本题是实际应用题，考查了函数的最值(1)分别计算隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和即可得的表达式；（2）对函数求导，研究函数的单调性，求得当时有最小值.在函数与导数知识的交汇处命题.

试题解析:(1）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为

再由，得，因此                     3分

而建造费用为.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

              5分

（2）.

解得（舍去）                             8分

当时，

故时，的最小值点，

对应的最小值为.

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.                   12分

考点：1.待定系数求函数的解析式；2.函数的最值；3.导数法研究函数的单调性.