Question

已知.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在处有极值，求的单调递增区间；

（3）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

(1)；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：(1)考查了导数的几何意义，先求出切线的斜率，再用点斜式写方程；（2）由求得，得令结合函数的定义域求解即可；（3）首先假设存在实数满足题意，分三种情况研究函数的单调性寻找其最小值,是对函数单调性的考查.

试题解析：（1）由已知得的定义域为，

因为，所以当时，，所以，

因为，所以                       2分

所以曲线在点处的切线方程为

即.                          4分

（2）因为处有极值，所以，

由（1）知所以

经检验，时在处有极值.                         6分

所以令解得；

因为的定义域为，所以的解集为，

即的单调递增区间为.                         8分

（3）假设存在实数a，使有最小值3，

①当时，因为，

所以在上单调递减，

，解得（舍去）                   10分

②当上单调递减，在上单调递增，

，满足条件.                   12分

③当，

所以 上单调递减，，

解得，舍去.

综上，存在实数，使得当有最小值3.              14分

考点：1.导数的几何意义；2.切线方程；3.导数法研究函数单调性；3.函数的最值.