Question

已知函数图象上一点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（3）令，若的图象与轴交于（其中），的中点为，求证：在处的导数

Answer

（1） ；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）属于简单题，利用函数在的导数值为斜率求解；（2）转化为函数与轴有2个交点，进来转化为求函数的最大值与最小值问题，利用导数判函数的单调性满足即可；（3）利用反证法求解，假设成立，由条件满足，利用第1、2个条件求解值，结合第4个条件得到，再利用函数的单调性充分证明假设错误，进而得证在处的导数.

试题解析：（1）

且

解得                              3分

（2），令

则

令，得舍去).

当时，

是增函数；

当时，

是减函数；                              5分

于是方程在内有两个不等实根的充要条件是：.

即                              9分

（3）由题意

假设结论成立，则有：

                           11分

①-②，得

由④得

即，即⑤                  13分

令

则

在（0，1）增函数，

⑤式不成立，与假设矛盾.

                               14分

考点：1.利用导数判函数的单调性；2.函数的最值求解；3.反证法思想.