Question

设函数，其中为常数。

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数有极值点，求的取值范围及的极值点。

Answer

（Ⅰ）函数在定义域上单调递增；（Ⅱ）当且仅当时有极值点; 当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）函数在定义域上的单调性的方法，一是利用定义，二是利用导数，此题既有代数函数又有对数函数，显然利用导数判断，只需对求导，判断的符号即可；（Ⅱ）求的极值，只需对求导即可，利用导数求函数的极值一般分为四个步骤：①确定函数的定义域；②求出；③令，列表；④确定函数的极值．此题由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点，只需讨论的情况，解的根，讨论在范围内根的个数，从而确定的取值范围及的极值点，值得注意的是，求出的根时，忽略讨论根是否在定义域内，而出错．

试题解析：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，  ∴当时，，函数在定义域上单调递增．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点，②时，有两个相同的解，但当时,，当时，时，函数在上无极值点，③当时，有两个不同解，，时，，而,此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：

减

极小值

增

由此表可知：当时，有惟一极小值点 

ii)   当时，0<<1，此时，，随的变化情况如下表：

增

极大值

减

极小值

增

由此表可知：时，有一个极大值，和一个极小值点； 综上所述：当且仅当时有极值点; 当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点

考点：导数与函数的单调性、导数与函数的极值，考查学生的基本推理能力及运算能力．