Question

我校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响.

（Ⅰ）求比赛进行局结束，且乙比甲多得分的概率；

（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）随机变量的分布列为

【解析】

试题分析：（Ⅰ）这是一个独立重复试验，比赛进行局结束，且乙比甲多得分，只能是前两局乙胜一局，3,4局乙连胜，根据独立重复试验从而求出，值得注意的是，做这一类题，一定分析清楚，否则容易出错；（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，只能取值，不能为3,5，分别求出的取值为的概率，列分布列，从而求出数学期望，易错点为的取值不正确，导致分布列错误。

试题解析：（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为.比赛进行局结束，且乙比甲多得分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则.   

（Ⅱ）由题意知，的取值为.则  ， ，所以随机变量的分布列为

则

考点：本题考查独立重复事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力.