Question

如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）详见解析；(Ⅱ) 详见解析；(Ⅲ) 直线与平面所成角的正弦值为.

【解析】

试题分析：（I）利用两平面垂直的性质定理，证明BC平面AEC,再根据线面垂直的性质定理证明AEBC,根据勾股定理证明AEEC，利用线面垂直的判定定理证明AE平面BCEF;（II）三棱锥体积利用体积转换为以E为顶点，为底面的椎体体积求得. 等体积转化，是立体几何经常运用的一种方法，高考也考过．

试题解析：（Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则，∵，，，∴四边形为正方形，∵为的中点，∴为的交点，∵， ，

  ∵，∴，，在三角形中，，∴，∵，∴平面；

(Ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点，∴，∵平面，平面，∴平面.方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得： ，，，，，，则，，，.∴∴∵平面，平面，∴平面；                              

 (Ⅲ) 设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即，解得，令，则平面的一个法向量为，又

则，∴直线与平面所成角的正弦值为.

考点：1、线面垂直的判定和性质定理应用；2、线面平行的判定和性质定理应用；3、求线面角的问题，考查学生的化归与转化能力以及空间想象能力．