Question

已知

（1）若时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（3）令是否存在实数，当是自然对数的底）时，函数的最小值是3，

若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

试题分析：（1）时，利用求导法则得到的导函数，计算知，即切线斜率为1，再得到，从而通过直线的点斜式方程得到所求切线方程；（2）函数在上是减函数，即导函数在上是恒小于或等于0. ,在上分母恒为正，所以分子，令，则为开口向上的二次函数.所以本题转化为二次函数在闭区间的最值问题.，故两个可能的最大值，得实数的取值范围；（3）对求导，讨论的范围，研究导数的正负从而确定在上的单调性，得到其最小值，由条件最小值是3得到的值，注意此时还要判断是否在所讨论的范围内，若不在则要予以舍去.

试题解析：（1）当时，         1分

     函数在点处的切线方程为    3分

（2）函数在上是减函数

在上恒成立                      4分

令，有得                             6分

                                                             7分

（3）假设存在实数，使在上的最小值是3

                                               8分

当时，，在上单调递减，

（舍去）                                                     10分

当且时，即，在上恒成立，在上单调递减

，（舍去）                        11分

当且时，即时，令，得；，得

在上单调递减，在上单调递增

，满足条件                      13分

综上所述，存在实数，使在上的最小值是3      14分

考点：1.导数的几何意义；2.二次函数在闭区间的最值；3.利用导数研究函数的单调性.