Question

已知椭圆方程为，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为.

(1)求椭圆方程.

(2)已知为椭圆的左右两个顶点，为椭圆在第一象限内的一点，为过点且垂直轴的直线，点为直线与直线的交点，点为以为直径的圆与直线的一个交点，求证：三点共线.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：(1)由过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为可以得到右焦点坐标，即的值.再由公式可得椭圆方程.此处注意因为是右焦点，即焦点在轴上，从而得到对应的分母1即为；（2）由点坐标设出直线的点斜式方程，联立椭圆方程求出的坐标.易知直线的方程，所以易求得点坐标，由圆的性质知，则只要就有直线、重合，即三点共线.因为点的坐标已求得，可通过向量数量积予以证明.注意本题如选择求点坐标则将较为繁琐，增加了解题的计算量，这里合理利用圆的直径对应的圆周角是直角这一性质，简化了运算.

试题解析：（1）设右焦点为，则过右焦点斜率为1的直线方程为：    1分

则原点到直线的距离                         3分

方程                                                    4分

（2）点坐标为                                              5分

设直线方程为：，设点坐标为

得：                     6分

       7分    9分

    10分

由圆的性质得：

又点的横坐标为    点的坐标为    11分

     11分           13分

即，又三点共线                14分 

考点：1.直线与圆锥曲线的位置关系；2.直线的方程；3.平面向量的应用.