Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，讨论函数在[上的单调性；

（Ⅱ）如果，是函数的两个零点，为函数的导数，证明：.

Answer

（Ⅰ）当时，函数在上单调递减；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）不是常见的函数的单调性问题，可以采用求导得方法.通过定导数的正负来确定单调性.在本题中，求导得，但发现还是无法直接判断其正负.这时注意到在上单调递减，可以得到其最大值，即，而，所以，从而得函数在上单调递减；（Ⅱ）通过，是函数的两个零点把用表示出来，代入中，由分成与两段分别定其正负.易知为负，则化成，再将视为整体，通过研究的单调性确定的正负，从而最终得到.本题中通过求导来研究的单调性，由其最值确定的正负.其中要注意的定义域为，从而这个隐含范围.

试题解析：（Ⅰ），      1分

易知在上单调递减，                  2分

∴当时，.      3分

当时，在上恒成立.

∴当时，函数在上单调递减.    5分

（Ⅱ），是函数的两个零点，

   （1）

   （2）    6分

由（2）-（1）得：

，    8分

，所以

，

将代入化简得：    9分

因为，故只要研究的符号

    10分

令，则，且，

令，                        12分

所以，

当时，恒成立，所以在上单调递增，所以当时，

，所以，又，故，所以，即，又

，所以.    14分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.方程的根与函数的零点；3.函数的单调性与最值.