Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，,平面底面，为中点，M是棱PC上的点，．

（1）若点M是棱PC的中点，求证：平面；

（2）求证：平面底面；

（3）若二面角M-BQ-C为，设PM=tMC，试确定t的值．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）3．

【解析】

试题分析：（1）连接AC，交BQ于N，连接MN，在三角形PAC中，利用中位线定理证明PA//MN，由线线平行得线面平行；（2）证PQ⊥AD，QB⊥AD，由PQ∩BQ=Q，所以AD⊥平面PBQ，再利用线面垂直得面面垂直；（3）先证PQ⊥面ABCD，（注意此步不可省略），再以Ｑ为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标及平面BQC的法向量，并设，利用关系PM=tMC，用坐标表示出来，列方程解出，并得，

，从而易得平面MBQ法向量为，再由数量积运算得，可得t值．

试题解析：证明：（1）连接AC，交BQ于N，连接MN．         1分

∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，

又∵点M是棱PC的中点，∴ MN // PA                              2分

∵ MN平面MQB，PA平面MQB，       3分

∴ PA // 平面MBQ．                     4分

（2）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．   6分

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，        7分

∴BQ⊥平面PAD．                                     8分

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．                    9分

另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ， 

∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．            6分

∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD．                           7分

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．                     8分

∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．                          9分

（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点，  ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD．     10分

（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为；

，，，．   11分

设，

则，，∵，

∴ ，    ∴     ，          12分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量为．                 13分

∵二面角M-BQ-C为30°，  ，∴ ．  14分

考点：1、线面平行的判定定理；2、面面垂直的判定定理；3、利用空间直角坐标系解决问题．