Question

在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在面积的最大值为.

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的性质易得椭圆方程；（2）先设过点E的直线方程，然后把直线方程和椭圆方程联立得关于y的一元二次方程，解出，，则 ，从而得△面积的表达式，再由不等式性质求得面积最大值．

试题解析：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，

长半轴长为2的椭圆，                    3分

故曲线C的方程为．             6分

（2）存在面积的最大值．               7分

因为直线过点，可设直线的方程为或（舍），

则整理得 ．             8分

由．设．

解得  ，  ．则 ．

因为．          11分

设，，．

则在区间上为增函数．所以．

所以，当且仅当时取等号，即．

所以的最大值为．                        14分

考点：1、椭圆的标准方程及性质；2、直线与椭圆相交问题；3、不等式的性质．