Question

设数列满足：，，．

（Ⅰ）求的通项公式及前项和；

（Ⅱ）已知是等差数列，为前项和，且，.求的通项公式，并证明：．

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ），证明详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求的通项公式及前项和，由已知，，，数列是以为首项，为公比等比数列，由等比数列的通项公式及前项和公式可得；（Ⅱ）求的通项公式，由是等差数列，为前项和，且，，可设等差数列的公差为，根据已知条件，求出公差的值，从而得到；证明：，由，分母是等差数列连续两项积，像这类数列，求其前项和，常常采用拆项相消法，即，从而解出．

试题解析：（Ⅰ）因为，又，所以，因此是首项为1，公比为3的等比数列，所以，；

（Ⅱ）设等差数列的公差为，依题意， ，所以，即，故. 由此得，. 所以，  .因此所证不等式成立.                        

考点：等比数列的定义及通项公式，等差数列的通项公式，拆项相消法求数列的前项和，考查学生的运算能力以及转化与化归的能力.