Question

已知函数，.

（Ⅰ）当，时，求的单调区间；

（2）当，且 时，求在区间上的最大值．

Answer

（Ⅰ）的单调递减区间；（Ⅱ）在区间上的最大值为 .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当，时，求的单调区间，只需求出的导函数，判断的导函数的符号，从而求出的单调区间；（Ⅱ）当，且 时，求在区间上的最大值，此题属于函数在闭区间上的最值问题，解此类题，只需求出极值，与端点处的函数值，比较谁大，就取谁，但此题，令，得或，需对讨论，由于，分，与，两种情况讨论，从而确定最大值，本题思路简单，运算较繁，特别是分类讨论，是学生的薄弱点．

试题解析：（Ⅰ）当，时，，则，令，解得，，当或时，有； 当时，有，所以的单调递增区间和，的单调递减区间．

（Ⅱ）当，且 时，，，则， 令，得或，①当，即时，此时当时，有，所以在上为减函数，当时，有，所以在上为增函数，又，，

所以的最大值为；②当，即时，此时当时，；当时，；当时，；所以在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， ， ， 所以的最大值为，综上，在区间上的最大值为 .

考点：函数与导数，导数与函数的单调性、导数与函数的极值及最值，考查学生的基本推理能力，考查学生的基本运算能力以及转化与化归的能力.