Question

已知数列的前项和为，，是与的等差中项（）.

（Ⅰ）证明数列为等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）是否存在正整数，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在符合要求的正整数，且其最大值为11.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）是与的等差中项，可得到，（），证明数列为等比数列；只需证明为一个与无关的常数即可，这很容易证出；（Ⅱ）求数列的通项公式，由（Ⅰ）可得，即，这样问题转化为已知求，利用时，，当时，，可求出数列的通项公式，值得注意的是，用此法求出的需验证时，是否符合，若不符合，须写成分段形式；（Ⅲ）是否存在正整数，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由，这是一个探索性命题，解此类题往往先假设其成立，作为条件若能求出的范围，就存在正整数，使不等式（）恒成立，若求不出的范围，就不存在正整数，使不等式（）恒成立，此题为奇数时，对任意正整数不等式恒成立；只需讨论当为偶数时，可解得，，所以存在符合要求的正整数，且其最大值为11.

试题解析：（Ⅰ）因为是与的等差中项，所以（），即，（），由此得（），又，所以 （），所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即（）， 所以，当时，，又时，也适合上式， 所以. 

（Ⅲ） 原问题等价于（）恒成立.当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立；当为偶数时，等价于恒成立，令，，则等价于恒成立， 因为为正整数，故只须，解得，，所以存在符合要求的正整数，且其最大值为11.

考点：等差中项，等比数列的定义及通项公式，由数列的前项和求数列的通项公式，考查学生的运算能力以及转化与化归的能力.