Question

已知函数

（Ⅰ）若函数在处的切线垂直轴,求的值；

（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；

（Ⅲ）讨论函数的单调性.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（1）当时，函数在上递减，在上递增； （2）当时，函数在上递增，在上递减，在上递增 ，（3）当时，函数在上递增；（4）当时，函数在上递增，在上递减，在上递增．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）若函数在处的切线垂直轴,求的值，只需对求导，让它的导数在处的值即为切线的斜率，而切线垂直轴,故斜率为零，即，就能求出的值，此类题主要运用导数的几何意义来解，一般不难；（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，求的取值范围，只需对求导，让它的导函数在区间上恒大于零，这样转化为恒成立问题，解这类为题，只需分离参数，把含有参数放到不等式一边，不含参数放到不等式的另一边，转化为求不含参数一边的最大值或最小值即可，此题分离参数得：，只需求出的最大值即可；（Ⅲ）讨论函数的单调性，只需对求导，判断它的导函数在区间上的符号，求出导数得，由于的值不知，需讨论的取值范围，从而确定的单调性．

试题解析：（Ⅰ）因为，故， 函数在处的切线垂直轴，所以；

（Ⅱ）函数在为增函数，所以当时，恒成立，分离参数得：，从而有：；

（Ⅲ）， ，令，因为函数的定义域为，所以（1）当，即时，函数在上递减，在上递增； （2）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增 ，（3）当，即时，函数在上递增；（4）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增．

考点：函数与导数，导数与函数的单调性、导数的几何意义，学生的基本推理能力，及基本运算能力以及转化与化归的能力.